题目

三重积分∫∫∫zdv,积分区域由x^2 y^2 z^2≥z和x^2 y^2 z^2＜2z围成
如题用球面积分我做出来的是∫(0-2π)dθ∫(0-2/π)dφ∫(cosφ-2cosφ)(ρ^3sinφcosφ)dρ请问哪里错了...为什么和直角坐标求出来的结果不一样...顺便求柱面坐标的方法

提问时间：2021-03-27

答案

你球坐标的式子没错啊,可能是直角坐标的式子列错了呢?
球坐标：
小球体：r² = rcosφ ==> r = cosφ
大球体：r² = 2rcosφ ==> r = 2cosφ
∫∫∫Ω z dV
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/2) sinφ dφ ∫(0→2cosφ) rcosφ * r² dr
- ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/2) sinφ dφ ∫(0→cosφ) rcosφ * r² dr
= 4π/3 - π/12
= 5π/4
柱坐标：
{ r² + z² = z { r² + z² = 2z
{ r² + (z - 1/2)² = 1/4 { r² + (z - 1)² = 1
∫∫∫Ω z dV
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(1 - √(1 - r²)→1 + √(1 - r²)) z dz
- ∫(0→2π) dθ ∫(0→1/2) r dr ∫((1/2)(1 - √(1 - 4r²))→(1/2)(1 + √(1 + 4r²))) z dz
= 4π/3 - π/12
= 5π/4
直角坐标：
{ x² + y² + z² = z ==> x² + y² + (z - 1/2)² = (1/2)²
{ x² + y² + z² = 2z ==> x² + y² + (z - 1)² = 1
∫∫∫Ω z dV
= ∫(- 1→1) dx ∫(- √(1 - x²)→√(1 - x²) dy ∫(1 - √(1 - x² - y²)→1 + √(1 - x² - y²)) z dz
- ∫(- 1/2→1/2) dx ∫(- √(1/4 - x²)→√(1/4 - x²)) dy ∫(1/2 - √(1/4 - x² - y²)→1/2 + √(1/4 - x² - y²)) z dz
= 4π/3 - π/12
= 5π/4