题目

在平面直角坐标系中，已知A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）（n∈N^*），满足向量

AnAn+1

与向量

BnCn

共线，且点B_n（n，b_n）（n∈N^*）都在斜率为6的同一条直线上，若a₁=6，b₁=12．求：
（1）数列{a_n}的通项a_n；
（2）数列{

1

an

}的前n项和T_n．

提问时间：2021-03-27

答案

（1）∵点B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上，
∴

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，
即b_n+1-b_n=6，
于是数列{b_n}是等差数列，
故b_n=12+6（n-1）=6n+6．
∵

AnAn+1

=(1，an+1-an)，

BnCn

=(-1，-bn)，又

AnAn+1

与

BnCn

共线．
∴1×（-b_n）-（-1）（a_n+1-a_n）=0，
即a_n+1-a_n=bn
∴当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b_n-1
=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2）=3n（n+1）
当n=1时，上式也成立．
所以a_n═3n（n+1）．
（2）

1

an

=

1

3

(

1

n

-

1

n+1

)，
Tn=

1

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

3

(1-

1

n+1

)=

n

3n+3

．

（1）先根据点B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上，得出

bn+1−bn

(n+1)−n

=6，即b_n+1-b_n=6，从而得出数列{b_n}是等差数列，结合向量共线条件得出a_n+1-a_n=bn最后利用分组求和的方法即可求得数列{a_n}的通项a_n；
（2）由于

1

an

＝

1

3

(

1

n

−

1

n+1

)，利用逐差求和法即可求得数列{

1

an

}的前n项和T_n．

本题考点：数列与向量的综合；数列的求和；数列递推式．

考点点评：本题考查了等比数列的定义，通项公式及前n项和公式、数列与向量的综合，综合运用了逐差求和法和分组求和法，难度一般．