题目

1.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)〈a,f(b)〉b,试证：在开区间（a,b)内,至少存在一个点ξ,使得f(ξ)=ξ
2.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且a

提问时间：2021-03-27

答案

1、设g(x)=f(x)-x,g(x)在【a,b】上连续,g(a)=f(a)-a<0,g(b)=f(b)-b>0,由零点定理得,至少存在一点ε在（a,b）,使得g(ε)=0,即f（ε）=ε
2、∵f(x)是闭区间(a,b)上的连续函数
∴f(x)在闭区间(a,b)上必有最大值Fmax,也必有最小值Fmin
同时,对于任一实数r ,若有Fmin≤r≤Fmax,则：
直线 y = r与曲线 y = f(x)必有至少1个交点,即：
至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ) = r
现考察1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≤ 1/3 ×（Fmax+Fmax+Fmax）= Fmax；
同理：1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≥Fmin
令r = 1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)],即得所求结论.