题目

设矩形ABCD(AB大于AD）的周长为24,将三角形ABC关于AC折至三角形AB1C使边AB1交边DC于P,
设AB=a,AD=b,以AB所在直线为x轴,以A点为坐标原点建立坐标系
(1):用a,b表示点B1的坐标
（2）：用a表示点P的坐标

提问时间：2021-03-27

答案

以AB所在直线为正半x轴,以AD所在直线为正半y轴,以A点为坐标原点建立坐标系.则A,B,C,D三点的坐标分别是:A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b).
(1):∵过A,C两点的直线方程为 y=bx/a.(1)
∴过点B(a,0),且垂直直线y=bx/a的直线方程为 y=-a(x-a)/b.(2)
解方程（1）（2）得 x=a³/(a²+b²),y=a²b/(a²+b²)
设B1的坐标为B1(x0,y0）,则(x0+a)/2=a³/(a²+b²),y0/2=a²b/(a²+b²)
于是 x0=a(a²-b²)/(a²+b²),y0=2a²b/(a²+b²)
故点B1的坐标为 (a(a²-b²)/(a²+b²),2a²b/(a²+b²))
(2)∵过A,B1两点的直线方程为 y=2abx/(a²-b²).(3)
过C,D两点的直线方程为 y=b.(4)
解方程（3）（4）得 x=(a²-b²)/(2a),y=b
又矩形ABCD(AB大于AD）的周长为24,则b=12-a
于是x=(a²-b²)/(2a)=4(a-18)/a,y=b=12-a
∴点P的坐标是 （4(a-18)/a,12-a）.