题目

设A为n级方阵,证明：r(A)-r(A^2-A)=n-r(E-A).这里E为单位矩阵,r(A)表示矩阵A的秩.

提问时间：2021-03-27

答案

记(E-A)x=0的解空间是V,Ax=0的解空间是W,(A^2-A)x=0的解空间是U,其维数分别是n-r(E-A),n-r(A),n-r(A^2-A),只需证明V+W=U是直和,利用维数公式就得结论.显然V W都是U的子空间,且V与W的交是零空间（若(E-A)x=0,Ax=0,则x=Ax=0）.对任意的x满足(A^2-A)x=0,记
x=(E-A)x+Ax,其中(E-A)x是Ax=0的解,属于W,Ax是（E-A)x=0的解,属于V,因此U包含于V+W.所以是直和.