题目

如图1，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C（2，-2），CA⊥AB，且CA=AB．

（1）求点B的坐标；
（2）CA、CB分别交坐标轴于D、E，求证：S_△ABD=S_△CBD；
（3）连DE，如图2，求证：BD-AE=DE．

提问时间：2021-03-27

答案

（1）作CM⊥x轴于M，
∵C（2，-2），
∴CM=2，CN=2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠BAO=∠ACM，
在△BAO和△ACM中

∠BAO=∠ACM ∠AOB=∠CMA AB=AC

∴△BAO≌△ACM，
∴AO=CM=2，OB=AM=AO+OM=2+2=4，
∴B（0，4）．
（2）证明：如图1，作CN⊥y轴于N，
∵AO=2，
∴A（-2，0），
∴OA=CN，
∴BD=BD，
∴根据等底（BD=BD）等高的三角形面积相等得出：S_△ABD=S_△CBD．
（3）证明：在BD上截取BF=AE，连AF，
∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中

AB=AC ∠ABF=∠CAE BF=AE

∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE，∠ACE=∠BAF=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠FAD=45°=∠ECD，
在△AFD和△CED中

AD=DC ∠FAD=∠ECD AF=CE

∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE=DF，
∴BD-AE=DE．

（1）作CM⊥x轴于M，求出CM=CN=2，证△BAO≌△ACM，推出AO=CM=2，OB=AM=4，即可得出答案；
（2）求出AO=CN=2，根据相似求出AD=DC，根据三角形面积公式求出即可；
（3）在BD上截取BF=AE，连AF，证△BAF≌△CAE，证△AFD≌△CED，即可得出答案．

本题考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形面积，坐标与图形性质的应用，主要考查学生的推理能力．