题目

求数列通项公式的步骤
1,
2,一般数列
3,特殊情况的步骤

提问时间：2021-03-27

答案

根据定义由首项和公比或者公差.
当n>=2时,用An=Sn-S(n-1)
有时还要用到A(n-1)=S(n-1)-S(n-2)
(1)求差(商)法
如{An}满足(1/2)a1+[1/(2^2)]a2+.[1/(2^n)]An=2n-5
解法为当n=1时,0.5a1=2*1+5,即a1=14
n>1时,(1/2)a1+[1/(2^2)]a2+.[1/(2^n-1)]An=2(n-1)-5
(1/2)a1+[1/(2^2)]a2+.[1/(2^n)]An=2n-5
而-得,
[1/(2^n)]An=2
所以An=2^(n+1)
即
An=14(n=1时)
2^(n+1) n>1时
(2)叠乘法
例如:{An}中,a1=3,a(n+1)/an=n/(n+1)求An
解法为 (a2/a1)*(a3/a2)*.an/(an-1)=1/2*2/3.(n-1)/n
所以An/a1=1/n
又a1=3,
所以An=3/n
(3)等差型递推
由An-A(n-1)=f(n),a1=a0,求An,用迭加法.
n>1时,a2-a1=f(2)
a3-a2=f(3)
..
An-A(n-1)=f(n)
全部相加得,An-a1=f(2)+f(3)+...f(n)
所以An=f(2)+f(3)+...f(n)+a0
(4)等比型递推
An=cA(n-1)+d ,其中c.d为常数,c≠0和1,d≠0
可转化为等比数列,设An+x=c[A(n-1)+x]
→An=cA(n-1)+(c-1)x
令(c-1)x=d,所以x=d/(c-1)
{An+d/(c-1)}是首项为a1+d/(c-1),c为公比的等比数列.
所以An=[a1+d/(c-1)]*c^(n-1)-d/(c-1)
(5)倒数法
例如:a1=1,A(n+1)=2An/(An+2),求An
解法:1/A(n+1)=(An+2)/An=1/2+1/An
所以1/A(n+1)-1/An=1/2
{1/An}为等差数列,首项为1/a1=1,公差为1/2
所以1/An=1+1/2*(n-1)=1/2*(n+1)
所以An=2/(n+1)