题目

设a，b，c为互不相等的非零实数，求证：方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根．

提问时间：2021-03-27

答案

证明：假设题中的三个方程都有两个相等的实数根，不妨设这三个方程的根的判别式为△₁，△₂，△₃，
则有

△1＝4b2−4ac＝0 ① △2＝4c2−4ab＝0 ② △3＝4a2−4bc＝0 ③

．
由①+②+③得：a²+b²+c²-ab-ac-bc=0，
有2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
即（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，
∴a=b=c，这与已知a，b，c为互不相等的非零实数矛盾，
故题中的三个方程不可能都有两个相等的实数根．

用反证法求解；先设三个方程都有两个相等的实数根，则三个方程的△=0，经过推导得出与已知互相矛盾，从而证明原结论成立．

本题考点：反证法；根的判别式．

考点点评：考查根的判别式，学习反证法的应用．