题目

用可积准则证明：若函数f在【a,b】上可积,则f^2在【a,b】上也可积.

提问时间：2021-03-27

答案

首先,f可积则f有界,设|f|<=M.
于是对任意的x,y有|f^2(x)－f^2(y)|＝|f(x)+f(y)|*|f(x)－f(y)|<=2M*|f(x)－f(y)|.
此不等式说明对区间【a,b】的任意分划下,
在每一个小子区间上函数f^2的振幅<=2M*函数f的振幅,
因此对任意的e>0,由f可积,存在d>0,只要分划的模就有：求和(i＝1到n)wi(f)dxiwi(f)表示f在[x(i－1),xi]上的振幅,dxi是其长度.
于是有
求和(i＝1到n)wi(f^2)dxi
<=求和(i＝1到n)2M*wi(f)*dxi
故f^2可积.