题目

已知函数f（x）=e^x，直线l的方程为y=kx+b．
（1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
（2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．

提问时间：2021-03-27

答案

（1）函数f（x）=ex，分析可得f（x）=ex与直线相切，只有一个交点即切点，故过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线中P即为切点，∵f'（x）=ex，∴切线l的方程为y-et=et（x-t）即y=etx+et（1-t）（2）由（1）k=et...

（1）对函数求导，得到函数的导函数，即得到了函数在某一点的切线的斜率，用点斜式写出切线的方程．
（2）根据切线的方程，写出斜率和截距，构造新函数，对新函数求导，得到在x∈（-∞，t）上单调递减，在x∈（t，+∞）为单调递增，即得到函数的最小值，根据函数思想得到不等式成立．
（3）构造新函数，对新函数求导，判断函数的单调性，针对于k的不同值，函数的单调性不同，需要进行讨论，求出函数的最小值，得到要写的条件．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查函数导函数的应用，主要是求最值问题，本题解题的关键是对于不等式成立，只要用函数的最值来整理就使得问题解题的方向非常明确．