题目

已知sin²α+sin²β+sin²γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于______．

提问时间：2021-03-27

答案

∵sin²α+sin²β+sin²γ=1，
∴3-（cos²α+cos²β+cos²γ）=1．
∴cos²α+cos²β+cos²γ=2≥3

3	cos2αcos2βcos2γ

．
∴cos²αcos²βcos²γ≤（

2

3

）³．
∴cosαcosβcosγ≤

( 2 3 )3

=

2

3

2 3

=

2 6

9

．
答案：

2 6

9

根据同角三角函数基本关系，sin²α+sin²β+sin²γ=1⇒cos²α+cos²β+cos²γ=2；进而由基本不等式的性质，可得cos²α+cos²β+cos²γ≥3

3	cos2αcos2βcos2γ

，将cos²α+cos²β+cos²γ=2代入，化简可得答案．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件．