题目

问一个抽象代数的问题,
Z[p2]=（x+yp2|x,y∈z),这里p2是指根号2.
1）证明（x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1) 和Z*（Z/2Z）是同构的.
Z是整数集,Z/2Z=(0,1).
2)通过上一题的结论,描述x^2-2y^2=±1的所有整数解.

提问时间：2021-03-27

答案

1）证明：考虑到如果 a,b都属于（x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1)
则a*b^(-1)也属于（x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1),所以
（x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1)是一个子群.
另一方面：（1,1）和(-1,-1)是该子群的生成元.这点可以通过假设还有另一个生成元(x,y),最后证明x只能为1来得到生成元只有（1,1）和(-1,-1).
现考虑如下映射：
(1,1)^n |----> (n,0)
-1*(1,1)^n |----> (n,1)
(1,0) |---> (0,0)
(1,-1)^n |----> (-n,0)
-1*(1,-1)^n |----> (-n,1)
给出所要同构.
2）由上面分析知道,所有解为：（1,1）^n
注意：（1,1）^(-1)=(1,-1).