题目

已知圆C:X^2+Y^2-2aX-4aY+9a^2/2=0(a>0) 求总与其相切的直线

提问时间：2021-03-27

答案

x²+y²-2ax-4ay+9a²/2=0
x²-2ax+a²+y²-4ay+4a²=a²/2
(x-a)²+(y-2a)²=a²/2
圆心坐标(a,2a),a>0,半径=a/√2
垂直于x轴与其相切的直线：x=a+√(a²/2),x=a-√(a²/2),与a的取值有关,舍去.
其余情况下,设直线方程y=kx+b
kx-y+b=0
直线与圆相切,圆心到直线距离=半径.
|ka-2a+b|/√(1+k²)=a/√2
整理,得
a²(1+k²)=2[(k-2)a+b]²
(k²-8k+7)a²+4b(k-2)a+2b²=0
要对任意a>0,等式恒成立,只有
k²-8k+7=0 (1)
4b(k-2)=0 (2)
2b²=0 (3)
由(1)得(k-1)(k-7)=0
k=1或k=7
由(3)得b=0
k=1 b=0；k=7 b=0代入(2),等式成立.
综上,得总与圆相切的直线方程为y=x、y=7x,共两条.