题目

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1-a_n-1=0，数列{b_n}满足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n．
（1）求S₂₀₀；            （2）求b_n．

提问时间：2021-03-27

答案

（1）∵{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1-a_n-1=0，
∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，d=1为公差的等差数列，
∴S₂₀₀=200×1+

200×199

2

×1＝20100．
（2）由（1）得a_n=n，
∵数列{b_n}满足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n，
∴nb_n+1=2（n+1）b_n，
∴

bn+1

n+1

＝2•

bn

n

，
∴{

bn

n

}是以

b1

1

=2为首项，q=2为公比的等比数列，
∴

bn

n

=2×2^n-1=2ⁿ，
∴bn＝n•2n．

（1）由{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1-a_n-1=0，知数列{a_n}是以a₁=1为首项，d=1为公差的等差数列，由此能求出S₂₀₀．
（2）由a_n=n，数列{b_n}满足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n，知nb_n+1=2（n+1）b_n，所以

bn+1

n+1

＝2•

bn

n

，由此知{

bn

n

}是以

b1

1

=2为首项，q=2为公比的等比数列，由此能求出b_n．

本题考点：等差数列与等比数列的综合；等比关系的确定；数列递推式．

考点点评：本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．