题目

已知y=x^2 - 2x + m 与x轴交于点A（X1,0） B（X2,0) (X2>X1)
设抛物线的顶点为M,若△AMB 是直角三角形,求m值

提问时间：2021-03-27

答案

首先求出顶点坐标!
x=-b/2a=-(-2)/2=1
y=1-2+m=m-1
所以顶点 M(1,m-1)
因为有两个交点A,B,所以顶点M肯定在A,B的中垂线上!（这个理解吧）
所以直角肯定是M角!
而且,这是一个等腰直角三角形!
那么有斜边的中线等于斜边的一半
|m-1|=(1/2)*|x2-x1|,把两边平方
(m-1)^2=(1/4)*(x2-x1)^2
又因为,x1+x2=-b/a=2 ,x1x2=c/a=m,那么
（x2-x1）^2
= x1^2+ x2^2 -2x1x2
=(x1+x2)^2 -4x1x2
=4-4m
代入到上面式子,有
(m-1)^2=(1/4)*(4-4m)
化成一元二次方程,有
（m-1)^2 + (m-1)=0
m*(m-1)=0
m=0或者m=1
又因为有两个交点,所以x^2-2x+m=0的根的判别式要大于0
b^2-4ac=4-4m>0
m