题目

高一数学园与直线系方程 （高手请进）
已知圆C过点M(4,-2)N(1,1)且圆心在直线x+y+1=0上
（1)求圆C的方程
(2)是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的原过原点?存在,求出直线L的方程

提问时间：2021-03-27

答案

1.
圆心在MN的垂直平分线y=x-3上
解得圆心为(1,-2),半径为√（1-1）²＋（-2－1）²＝3
方程为（x－1）²＋（y＋2）²＝9
2.
设为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2)
若以AB为直径的圆经过原点,则∠AOB=90°
即AO⊥OB
∴x1x2＋y1y2=0
y1＝x1＋b,y2＝x2＋b
y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b²
所以可化为2x1x2＋b（x1＋x2）＋b²＝0……*
把直线方程代入圆方程可得：
2x²＋2（b＋1）x＋b²＋4b－4＝0
x1＋x2＝－（b＋1）,x1x2＝（b²＋4b－4）／2
代入*式化简得：
b²＋3b－4＝0
b＝1或b＝-4
均能使判别式大于0
所以所求直线为
y=x+1或y=x-4