题目

已知动点P到定点F（√2,0）的距离与点P到定直线l：x=2√2的距离之比为√2/2.
在轨迹C上求一点M(x,y)使得x+√2y取到最大值

提问时间：2021-03-26

答案

根据椭圆的定义可得到P点的轨迹：
c/a=√2/2 c=√2 a=2 b²=a²-c² b=√2
x²/4+y²/2=1
或者直接算：
(（x-√2）²－y²)÷(x-2√2)²=1/2
化简的x²+2y²=4
设x+√2y=t,可得直线l：y=-√2/2x+√2/2t,√2/2t为截距
画图可知,当直线l与椭圆C相切且截距在x轴上方时,t最大,此时切点为M
可得l的垂线y=√2x,且与椭圆C相较于切点M
解得M（√2,1）,t=x+√2y=√2+√2=2√2
或者
4=x²+2y²≥2√2xy
xy≤√2
x+√2y=√(x²+2y²+2√2xy)
因为b=√a为单增函数且x²+2y²=4
x+√2y=√(4+2√2xy)
xy≦√2
故当xy=√2时有最大值
x+√2y=√(4+2√2×√2）=2√2