题目

在三棱锥P-ABC中,D、E、F分别是PA、PB、PC上的三个点,AD：DP=1：3,BE：EP=1：2,CF=FP
则三棱锥P-DEF与三棱锥P-ABC的体积比是?

提问时间：2021-03-26

答案

过F、C分别作平面PAB的垂线,垂足分别是G、H.
显然有：FG∥CH,又CF＝PF,∴CH＝2FG,∴FG/CH＝1/2.
∵△PDE的面积＝（1/2）PD×PEsin∠APB,　△PAB的面积＝（1/2）PA×PBsin∠APB.
∴三棱锥P－DEF的体积＝三棱锥F－PDE的体积＝（1/3）△PDE的面积×FG.
　三棱锥P－ABC的体积＝三棱锥C－PAB的体积＝（1/3）△PAB的面积×CH.
∴三棱锥P－DEF的体积/三棱锥P－ABC的体积
＝［（1/3）△PDE的面积×FG］/［（1/3）△PAB的面积×CH］
＝△PDE的面积/（2△PAB的面积）
＝［（1/2）PD×PEsin∠APB］/［PA×PBsin∠APB］
＝（1/2）（PD/PA）（PE/PB）.
∵AD/DP＝1/3,∴（AD＋DP）/PD＝（1＋3）/3,∴PA/PD＝4/3,∴PD/PA＝3/4.
∵BE/EP＝1/2,∴（BE＋EP）/PE＝（1＋2）/2,∴PB/PE＝3/2,∴PE/PB＝2/3.
∴三棱锥P－DEF的体积/三棱锥P－ABC的体积＝（1/2）（3/4）（2/3）＝1/4.