题目
在三棱锥P-ABC中,D、E、F分别是PA、PB、PC上的三个点,AD:DP=1:3,BE:EP=1:2,CF=FP
则三棱锥P-DEF与三棱锥P-ABC的体积比是?
则三棱锥P-DEF与三棱锥P-ABC的体积比是?
提问时间:2021-03-26
答案
过F、C分别作平面PAB的垂线,垂足分别是G、H.
显然有:FG∥CH,又CF=PF,∴CH=2FG,∴FG/CH=1/2.
∵△PDE的面积=(1/2)PD×PEsin∠APB, △PAB的面积=(1/2)PA×PBsin∠APB.
∴三棱锥P-DEF的体积=三棱锥F-PDE的体积=(1/3)△PDE的面积×FG.
三棱锥P-ABC的体积=三棱锥C-PAB的体积=(1/3)△PAB的面积×CH.
∴三棱锥P-DEF的体积/三棱锥P-ABC的体积
=[(1/3)△PDE的面积×FG]/[(1/3)△PAB的面积×CH]
=△PDE的面积/(2△PAB的面积)
=[(1/2)PD×PEsin∠APB]/[PA×PBsin∠APB]
=(1/2)(PD/PA)(PE/PB).
∵AD/DP=1/3,∴(AD+DP)/PD=(1+3)/3,∴PA/PD=4/3,∴PD/PA=3/4.
∵BE/EP=1/2,∴(BE+EP)/PE=(1+2)/2,∴PB/PE=3/2,∴PE/PB=2/3.
∴三棱锥P-DEF的体积/三棱锥P-ABC的体积=(1/2)(3/4)(2/3)=1/4.
显然有:FG∥CH,又CF=PF,∴CH=2FG,∴FG/CH=1/2.
∵△PDE的面积=(1/2)PD×PEsin∠APB, △PAB的面积=(1/2)PA×PBsin∠APB.
∴三棱锥P-DEF的体积=三棱锥F-PDE的体积=(1/3)△PDE的面积×FG.
三棱锥P-ABC的体积=三棱锥C-PAB的体积=(1/3)△PAB的面积×CH.
∴三棱锥P-DEF的体积/三棱锥P-ABC的体积
=[(1/3)△PDE的面积×FG]/[(1/3)△PAB的面积×CH]
=△PDE的面积/(2△PAB的面积)
=[(1/2)PD×PEsin∠APB]/[PA×PBsin∠APB]
=(1/2)(PD/PA)(PE/PB).
∵AD/DP=1/3,∴(AD+DP)/PD=(1+3)/3,∴PA/PD=4/3,∴PD/PA=3/4.
∵BE/EP=1/2,∴(BE+EP)/PE=(1+2)/2,∴PB/PE=3/2,∴PE/PB=2/3.
∴三棱锥P-DEF的体积/三棱锥P-ABC的体积=(1/2)(3/4)(2/3)=1/4.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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