题目

RSA算法,为什么正好B=A^e2 mod n
RSA的算法涉及三个参数,n、e1、e2.
其中,n是两个大质数p、q的积,n的二进制表示时所占用的位数,就是所谓的密钥长度.
　　e1和e2是一对相关的值,e1可以任意取,但要求e1与(p-1)*(q-1)互质；再选择e2,要求(e2*e1)mod((p-1)*(q-1))=1.
　　(n及e1),(n及e2)就是密钥对.
　　RSA加解密的算法完全相同,设A为明文,B为密文,则：
A=B^e1 mod n；
B=A^e2 mod n；
　　e1和e2可以互换使用,即：　　A=B^e2 mod n；B=A^e1 mod n;
第一个公式好理解A=B^e1 mod n；但是第二个公式不能理解,
为什么正好B=A^e2 mod n

提问时间：2021-03-26

答案

A^e2 mod n=B^(e1*e2)mod n,------1
因为e1*e2=1mod[(p-1)(q-1)],所以e1*e2=r*[(p-1)(q-1)]+1,为了表达简洁些,把（p-1）(q-1)表示成a,1式就变为B^(a+1)mod n-----2
下面分情况讨论
当B和n互素的时候,根据欧拉定理（B^a=1mod n）,显然1式=B
当B和n不互素的时候,由于n=p*q,B必然能被p或者q整除,假设B=k*p,则B与q互素,再运用欧拉定理,B^(q-1)=1mod q,B^[(p-1)(q-1)]=1mod q,即B^a=1mod q,所以B^a=t*q+1,两边同时乘以B=k*p,得：B^(a+1)=k*t*p*q+1=k*t*n+1,显然B^(a+1)=1mod n