题目

向量a=（cos πx/w,sinπx/w） b=（cosy,siny） w大于0,0≤y＜2π,函数f（x）=a*b为偶函数.
求y的值
函数在（0,3）上市单调递减,当w最小时,f（1）+f（2）...+f（2010）=

提问时间：2021-03-26

答案

向量a=（cos πx/ω,sinπx/ω） b=（cosy,siny） ω>0,0≤y＜2π,函数f（x）=a•b为偶函数.求y的值；函数在（0,3）上单调递减,当w最小时,f（1）+f（2）...+f（2010）=
(1) f(x)=a•b=cos(πx/ω)cosy+sin(πx/ω)siny=cos(πx/ω-y)
∵f(x)是偶函数,且ω>0,0≤y＜2π,∴有f(-x)=cos(-πx/ω-y)=cos(y+πx/ω)=f(x)=cos(πx/ω-y)
=cos[-(y-πx/ω)]=cos(y-πx/ω),故y=0.
当y=0时,f(x)=cos(πx/ω),f(-x)=cos(-πx/ω)=cos(πx/ω)=f(x)；
(2) f(x)=cos(πx/ω)的单调递减区间：由 2kπ≦πx/ω≦π+2kπ,2k≦x/ω≦1+2k,得单减区间：
2kω≦x≦ω(1+2k)；要求函数f(x)在(0,3)上单调递减,故应取k=0,ω=3.
ωmin=3,从而得：f(x)=(πx/3)；
由于f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=f(π/3)+f(2π/3)+f(π)+f(4π/3)+f(5π/3)+f(2π)
=f(π/3)-f(π/3)+f(π)-f(π/3)+f(π/3)+f(2π)=f(π)+f(2π)=-1+1=0
故f(1)+f(2)+.+f(n)以6为周期,在每个周期内的值为0,而2010÷6=335,即从1到2010正好经过335个周期,∴f(1)+f(2)+...+f(2010)=0