题目

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=|n-13|，那么满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的正整数k=______．

提问时间：2021-03-26

答案

∵a_n=|n-13|，∴a_n=

13−n    n≤13 n−13    n＞13

，
∴当n≤13时，{a_n}的前n项和为S_n=

25n−n2

2

，
当n＞13时，{a_n}的前n项和为S_n=

1

2

(n2−25n+312)
满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102，即a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整数
而S_k+19=

1

2

[(k+19)2−25(k+19)+312]=

1

2

（k²+13k+198）
①当k-1≤13时，S_k-1=-

1

2

k²+

27

2

k-13，
所以S_k+19-S_k-1=

1

2

（k²+13k+198）-（-

1

2

k²+

27

2

k-13）=102，解之得k=2或k=5
②当k-1＞13时，S_k-1=

1

2

[(k−1)2−25(k−1)+312]=

1

2

（k²-27k+338）
所以S_k+19-S_k-1=

1

2

（k²+13k+198）-

1

2

（k²-27k+338）=102，解之得k不是整数，舍去
综上所述，满足条件的k=2或5
故答案为：2或5

利用等差数列的求和公式，可得{a_n}的前n项和S_n关于n的分段表达式．已知等式可化为a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整数，通过讨论k-1与13的大小，分别得到关于k的方程，解之即得满足条件的正整数k值．

本题考点：数列的求和．

考点点评：本题给出一个与等差数列有关的数列，叫我们找出满足已知等式的最小正整数k，着重考查了等差数列的通项与求和公式，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．