题目

设a＞0，函数f(x)＝x+

a2

x

，g(x)＝x−lnx，若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数a的取值范围为______．

提问时间：2021-03-26

答案

∵g（x）=x-lnx∴g'（x）=1-

1

x

，x∈[1，e]，g'（x）≥0 函数g（x）单调递增
g（x）的最大值为g（e）=e-1
∵f（x）=x+

a2

x

∴f'（x）=

x 2−a2

x 2

，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a
当0＜a＜1 f（x）在[1，e]上单调增 f（1）_最小=1+a²≥e-1∴1＞a≥

e−2

当1≤a≤e 列表可知 f（a）_最小=2a≥e-1 恒成立
当a＞e时 f（x）在[1，e]上单调减 f（e）_最小=

e2+a2

e

≥e-1 恒成立
综上a≥

e−2

故答案为：a≥

e−2

先对函数g（x）求导判断出函数g（x）的单调性并求其最大值，然后对函数f（x）进行求导判断单调性求其最小值，最后令函数f（x）的最小值大于等于函数g（x）的最大值即可．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．