题目

在三角形ABC中,角A,B,C分别对应边abc,且1+(tanA)/(tamB)=2c/b
1）求角A
2）若m=(0,-1);n=(cosB,2cos^2C2),试求|m+n|的值.

提问时间：2021-03-26

答案

1. A=π/3.
据正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R是三角形处外接圆半径）
∴2c/b=2sinC/sinB
1+(tanA)/(tanB)=1+(sinA/cosA)/(sinB/cosB),通分
=(cosAsinB+sinAcosB)/cosAsinB=sin(A+B)/cosAsinB
=sinC/cosAsinB(三角形中,sin(A+B)=sinC
即sinC/cosAsinB=2c/b=2sinC/sinB,
cosA=1/2,A=π/3.
2. m+n=(cosB+0,2cos²(C/2)-1) (注：2cos²(C/2）=1+cosC,半角公式,书有）
=（cosB,cosC)
则|m+n|²=(cos²B+cos²C) (A=π/3=60°,C=120°-B,这里度打字比较方便）
=cos²B+cos²(120°-B)
把cos²B=（1+cos2B)/2,
cos²(120°-B)=[1+cos(240°-2B)]/2 再把它展开代入整理：
=1+ [(cos2B/2)-(√3sin2B/2)]/2=1+[sin(30°-2B)/2]
|m+n|=√[1+ sin(30°-2B)/2]