题目

证明x→kπ,lime^(x/sinx)=∞
如题

提问时间：2021-03-26

答案

1、利用罗比达法则,分子分母求导
lim (e^sinx-e^x)/(sinx-x)=lim(cosxe^sinx-e^x)/(cox-1)
第二次分子分母求导：=lim[(e^sinx)(cox)^2-sinx e^sinx-e^x]/-sinx
第三次分子分母求导,=1
2、用泰勒公式在零点展开：
e^sinx=1+x+(1/2)x^2+o(x^3)
e^x=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+o(x^3)
sinx=x-(1/6)x^3+o(x^5) 将上式子代入极限中：
lim (e^sinx-e^x)/(sinx-x)=lim[(-1/6)x^3+o(x^3)]/[(-1/6)x^3+o(x^3)]=1
各式中o(x^3)表示比x^3高阶的无穷小,虽然上述o(x^3)的表示符号一致,但是其值并非相等,他们表示的是完全不同的无穷小代数式.