题目

一道关于数学期望的题目
一物品分0--9,共10个等级.现运用某技术对其进行升级,每次至多使其提升1个等级.已知该物品从0级被升到1级的概率为100%,从1级被升到2级的概率为90%…… 从8级被升到9级的概率为20%（每次概率递减10%）.则该物品从0级被升到9级所需升级次数的数学期望为多少.请给出结果及步骤

提问时间：2021-03-26

答案

我觉得吧,这个问题还是主要是思路的问题,而不是列一大堆计算式.思路对了这个问题还是挺简单的.
从0级升级到9级需要的平均次数,也就是升级次数的数学期望,肯定是等于从0级升级到1级的平均次数+1级到2级升级的平均次数+...+8级到9级升级的平均次数.这个应该比较容易想,因为从n升到n+1和n+1升级到n+2不相干,并且都是必要的步骤,所以肯定是这样.
Ok,下面只要计算从n级升级到n+1级的所需次数的数学期望就好啦,最后把他们加起来就是结果.
从第n级升级到n+1级成功的概率是p,那么你看这个升级次数的分布：
1次升级成功概率：p
2次升级成功概率：(1-p)p
3次升级成功概率：(1-p)^2*p
...
第k次升级成功概率：(1-p)^(k-1)*p
这个分布的期望你想算也行,不想算也有公式,就是E(n) = 1/p,
那这个问题不就很简单了,把p = 1,0.9,0.8.,0.2带入1/p然后把它们加起来就OK啦：
E(n)升级到9级就是：1/1+1/0/9+1/0.8+...+1/0.2 = 19.2897,你要想写成那种分数的也成,我就用计算器算了,算出小数的这种.
所以计算期望这种问题,重点还是要写出分布列,或者算出分布函数才行.