题目

已知命题p：f（x）=

1-2m

x

在区间（0，+∞）上是减函数；命题q：不等式（x-1）²＞m的解集为R．若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数m的取值范围是．

提问时间：2021-03-26

答案

由f（x）=

1-2m

x

在区间（0，+∞）上是减函数，得1-2m＞0，
即p：m＜

1

2

，
由不等式（x-1）²＞m的解集为R，且（x-1）²≥0恒成立
∴q：m＜0．
要保证命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，
当p真q假

m＜ 1 2 m≥0

即0≤m＜

1

2

当p假q真时

m≥ 1 2 m＜0

即m不存在
故0≤m＜

1

2

．

由已知可得1-2m＞0可求p，由（x-1）²≥0恒成立可得q：m＜0，由于p∨q为真，命题p∧q为假，可知p，q一真一假，从而可求解

本题考点：复合命题的真假；函数单调性的性质．

考点点评：本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是准确求解出命题p，q的真假