题目

高一数学集合问题 设M=｛a+b√2 / |a²-2b² |=1,a,b∈Z ｝,已知x,y∈M,
设M=｛a+b√2 / |a²-2b² |=1,a,b∈Z ｝,已知x,y∈M,
求证
①xy∈M
②1/x ∈ M
在求证①时有这样一步
设x=a+√2 b, y=c+√2d
丨（ac+2bd）^2-2（ad+bc）^2丨=丨（a^2-2b^2）（c^2-2d^2）丨=1
请问上面这个等式的推导是通过什么公式得出的还是根据题目中的特殊条件凑出的?
谢谢!

提问时间：2021-03-26

答案

根据题目中的特殊条件凑出的
由题目条件a+b√2 / |a²-2b² |=1化简得出,a-b√2=1
所以若设x=a+√2b,y=c+√2d
那么：a-√2b=1;c-√2d=1
就有：x*（a-b√2）=x；y*（c-d√2）=y
而：x*y=ac+2bd+√2ad+√2bc=(ac+2bd+√2ad+√2bc)*(a-√2b)*(c-√2d)=（a^2-2b^2）（c^2-2d^2）=（ac+2bd）^2-2（ad+bc）^2=1
所以x*y∈M
同理：1/x =1/(a+√2b)=a-√2b=1
所以1/x∈ M