题目

某工厂设计了一个蓄水池，如图所示，水源A罐的液面高度h₁=3m，且保持不变．罐底有一个小出水口，面积为S₁，S₁=0.1m²．孔下通过一个截面积为S₂活塞与杠杆BC相连，S₂=0.24m²．杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱体浮子，横截面积为S₃，S₃=0.8m²，BO是杠杆总长

1

3

提问时间：2021-03-26

答案

设浮子原来重力为G，杠杆长为l．浮子减重后，重为G′，由倾斜变为水平，如图所示，杠杆C端上升高度为EC=h₃-h₂=0.3m，活塞上升的高度△h即为OD的长度．
    
根据数学知识，三角形BDO相似于三角形BEC，
所以：

DO

EC

=

BO

BC

=

BD

BE

因为BO是杠杆总长

1

3

，
所以：

DO

EC

=

BO

BC

=

BD

BE

=

1

3

，
因为EC=0.3m，所以OD=0.1m，即活塞上升高度DO段长为△h=0.1m．        
（2）活塞减重前，杠杆平衡时，支点为B，
以浮子为研究对象，C端受到的合力为F_浮-G=（S₃h₃ρ_水g-G），该力的力臂BE，
O点受到的力为F_压=ρ_水gS₂（h₁+△h），该力的力臂设为BD，
根据杠杆平衡条件可得：（F_浮-G）BE=F_压BD，即：
（S₃h₃ρ_水g-G）BE=ρ_水gS₂（h₁+△h）BD，

BD

BE

=

1

3

，
即：3（S₃h₃ρ_水g-G）=ρ_水gS₂（h₁+△h），
代入数据得：3（0.8m²×1m×10³kg/m³×10N/kg-G）=10³kg/m³×10N/kg×0.24m²（3m+0.1m），
解得：G=5520N．
浮子减重后，杠杆平衡时，以杠杆为研究对象，进行受力分析：

C端受到的合力为
F′_浮-G′=S₃h₂ρ_水g-G′，此力的力臂为BC，
O点受到的力为F´_压=ρ_水gS₁h₁，此力的力臂为BO．
根据杠杆平衡有：（S₃h₂ρ_水g-G′）BC=ρ_水gS₁h₁ BO，
即为：3〔S₃h₂ρ_水g-G′〕=ρ_水gS₁h₁，
代入数据得：3（0.8m²×0.7m×10³kg/m³×10N/kg-G′）=10³kg/m³×10N/kg×0.1m²×3m．
解得：G′=4600N．
减去的浮子的重力：△G=G-G′=5520N-46OON=920N，
减去的浮子的质量：△m=

△G

g

=

920N

10N/kg

=92kg．
答：（1）活塞应上升的高度是0.1m；
（2）浮子应减去质量m′是92kg．