题目

近世代数 1
设G=(a)是循环群,试证明G的任意子集也是循环群.

提问时间：2021-03-26

答案

设子群为H,那么取h∈H,h=a^m e是单位元
建立集合 S= { n| a^n∈H,a^n≠e,n自然数}
令 k = min S ,显然k>0,那么我们说 H中的任意元素h,都能写成 a^(km)形式.
从而命题得证
如若不然,存在 l=km+s, 0使得a^l= a^(km+s) ∈H ,对于a^(km+s),连续左乘m个a^k的逆可以得到
a^s∈H
由S的构造,s显然不在S里,所以a^s=e,所以a^(km+s）= a^(km）* a^s=a^(km)
还是那种形式.
矛盾
证毕