题目

关于线性代数证明能不能使用等价代换的方法
证明向量组α1+α2、α2+α3、α3+α1线性无关的必要条件是向量组α1、α2、α3线性无关时：
因为α1+α2、α2+α3、α3+α1线性无关,
所以k1（α1+α2）+k2（α2+α3）+k3（α3+α1）=0 （k1∈R,k2∈R,k3∈R）只有在k1=k2=k3=0时成立
即（k1+k3）α1+（k1+k2）α2+（k2+k3）α3=0 （k1∈R,k2∈R,k3∈R）只有在k1+k3=k1+k2=k2+k3=0时成立
故得α1、α2、α3线性无关.
其中这个能不能等价代换,这样证明对吗?
我认为完全正确,只是我的老师硬说这样不可以.
重点是为什么不能这样.其他的方法我也知道,只是想找到这个做法对错的根据,而不是结果.

提问时间：2021-03-26

答案

呵呵 这样是不太行!给你个方法, 可对付此类问题.证明: 因为 (α1+α2,α2+α3,α3+α1) = (α1,α2,α3)P其中 P =1 0 11 1 0 0 1 1因为 |P| = 2 ≠ 0, 所以P可逆.所以 两个向量组的秩相等.故 向量组α1+α2、α2+α3...