题目

已知关于x的方程（1-a）x²+（a+2）x-4=0，a∈R，求：
（Ⅰ）方程有两个正根的充要条件
（Ⅱ）方程至少有一个正根的充要条件．

提问时间：2021-03-26

答案

首先方程有二实根的充要条件是：

1-a≠0   △=(a+2)2+16(1-a)≥0

解之得：a≥10或a≤2且a≠1
设方程的二实根为x₁，x₂，则x1+x2=

a+2

a-1

，x1x2=

4

a-1

（Ⅰ）x₁，x₂均为正根⇔

a≠1       a≤2或a≥10       x1+x2= a+2 a-1 >0       x1x2= 4 a-1 >0

解之得：1<a≤2或a≥10
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当a≥10或1<a≤2时，方程有两个正根
②方程有一正根，一负根⇔

a≠1     a<2或a>10     x1x2= 4 a-1 <0

解得：a<1
③当a=1时，方程化为3x-4=0，有一个正根x=

4

3

综合①②③得，方程至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10

（Ⅰ）方程有两个正根，首先要保证方程有两个根，即该方程为二次方程（二次项系数不为零），且△≥0，再由根与系数的关系，可得两根之和、两根之积均为正，构造不等式组，解不等式组即可得到答案．
（Ⅱ）方程至少有一个正根，包含这样几种情况：①方程有两个正根②方程有一个非正根和一正根③方程为一次方程，只有一正根．分类讨论后综合即可得到答案．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评：遇到类二次方程/函数/不等式（即解析式的二次项系数含有参数）时，一般要进行分类讨论，分类的情况一般有：①先讨论二次项系数a是否为0，以确定次数②再讨论二次项系数a是否大于0，以确定对应函数的开口方向，③再讨论△与0的关系，以确定对应方程根的个数．