题目

已知函数f(x)=(a-1)/|x|.(1)若f(x)<2x在（1,+∞）恒成立,求实数a的取值范围
（2）若函数y=f(x)在[m,n]上的取值是[m,n](m≠n),求实数a的取值范围

提问时间：2021-03-26

答案

（1）因为X在(1,+∞),所以f(x)=(a-1)/x,f(x)<2x,所以a<2(x^2)+1,而2(x^2)+1>3,所以a<3;
(2)当m,n同时为正时,f(x)=(a-1)/x,当a-1>0时,f(x)是递减函数,即f(m)=n,f(n)=m,此时可以求出a=mn+1; 当a-1<0时,即a<1,f(x)为递增函数,即f(m)=m,a=m^2+1>1,所以此种情况不成立.
当m,n同时为负时,f(x)=(1-a)/x,当1-a>0时,f(x)为递减函数,即f(m)=n,f(n)=m,此时,a=1-mn;
当1-a<0时,即a>1,f(x)为递增函数,即f(m)=m,a=1-m^2<1,所以此种情况不成立.
而当m,n为一正一负时,即m<0综上所述,当m,n>0时,a=mn+1>1;m,n<0时,a=1-mn<1