题目

若对终边不在坐标轴上的任意角x,不等式sinx+cosx≤m≤tan²x+（1/tan²x）恒成立,则实数m的取值范围

提问时间：2021-03-26

答案

解析：
已知任意角x的终边不在坐标轴上,那么：
sinx+cosx=√2*（sinx*√2/2 +cosx*√2/2)=√2*sin(x+ π/4)
可知当x+ π/4=π/2 +2kπ,即x=π/4 +2kπ,k∈Z时,sinx+cosx有最大值√2；
而由均值定理：
tan²x+（1/tan²x）≥2√[tan²x*（1/tan²x)]=2 （当且仅当tan²x=1/tan²x即tanx=±1时取等号）
所以当tanx=±1时,tan²x+（1/tan²x）有最小值2
要使不等式sinx+cosx≤m≤tan²x+（1/tan²x）恒成立,则须使：
√2≤m≤2
这就是所求实数m的取值范围.