题目

如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=CD=BC=6,AD=3,点M为边BC的中点,以M为顶点作角EMF=角B,射线ME交AB于点E
梯形ABCD,AD //BC,AB=CD=BC=6,AD=3,M为BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交腰AB与E,射线MF交CD于F,连结EF
若三角形FEM是等腰三角形,求EB的长

提问时间：2021-03-25

答案

在△BEM中,∠B+∠BEM=∠EMC=∠EMF+∠FMC
由已知∠B=∠EMF,得∠BEM=∠FMC
由于在梯形ABCD中,AB=CD,所以∠B=∠C,加上已证的∠BEM=∠FMC
有△BEM∽△CMF
由于△EFM是等腰三角形,分一下三种小情况讨论：
 
1° EM=FM
    加上已证的△BEM∽△CMF,可得△BEM≌△CMF,则BE=CM
    而M是BC中点,CM=BC/2=6/2=3,所以BE=CM=3
2° EF=FM,则∠EMF=∠FEM
    由已证的△BEM∽△CMF得BE/CM=EM/MF
    由于M是BC中点,所以BM=CM,又EF=FM,所以BE/BM=EM/EF
    加上∠B=∠EMF=∠FEM,可得△EBM∽△MEF
    所以∠BEM=∠EMF=∠B,则BM=EM
    过M作MG⊥BE于G,过A作AH⊥BM于H
    则在等腰三角形BEM中,由BM=EM,有BG=BE/2
    且在等腰梯形ABCD中,由AB=CD,有BH=(BC-AD)/2=(6-3)/2=3/2
    而由∠AHB=∠MGB=90°,公共角∠B=∠B,得△ABH∽△MBG
    则AB/MB=BH/BG,即BG=BH*MB/AB
    由于BG=BE/2,BH=3/2,MB=BC/2=6/2=3,AB=6
    所以BE/2=3/2*3/6=3/4,则BE=2*3/4=3/2
3° EF=EM
    2、3两种小情况的图画在了一起,其中右上角带'的字母表示第3种小情况
    这么做是为了利用对称性：
    第3种小情况中E'F'=E'M就是第2种小情况中的EF=FM
    所以第3种小情况中的E'B'也就是第2种小情况中的CF
    则回到上一种小情况,求出CF即可
    根据上一种小情况的结论,BE=3/2
    而已证△BEM∽△CMF,有BE/CM=BM/CF,即CF=BM*CM/BE
    由于BM=CM=BC/2=6/2=3,所以CF=3*3/(3/2)=6
    则B'E'=CF=6,即在第2种小情况中,BE=6
 
综上所述,BE=3/2或3或6
(当EF=EM时,BE=6；当FE=FM时,BE=3/2；当ME=MF时,BE=3)