题目

设两个一元二次方程ax²+2bx+1=0和cx²+2dx+1=0（其中a，b，c，d均为实数）满足a+c=2bd．求证：上述两个方程中至少有一个方程有实数根．

提问时间：2021-03-25

答案

假设上述两个方程中都没有实数根．
则两个方程的判别式△₁=4b²-4a＜0，△₂=4d²-4c＜0，
即b²＜a，d²＜c，不等式两边同时相加得b²+d²＜a+c，
∵a+c=2bd．
∴不等式等价为b²+d²＜2bd，
这与b²+d²≥2bd矛盾，
故假设不成立，
即上述两个方程中至少有一个方程有实数根．

利用反证法即可得到结论．

本题考点：反证法的应用．

考点点评：本题主要考查命题的推理和证明，利用反证法是解决本题的关键．