题目

已知集合A中的元素x均满足x=m²-n²(m,n∈Z)
求证：1.3∈A.
2.偶数4k-2（k∈Z）不属于集合A.

提问时间：2021-03-25

答案

证明：第一问：当m=2,n=1时,x=3,显然结论成立
第二问：假设存在这样的数使得x=m²-n²=4k-2
那么(m+n)(m-n)=4k-2=2(2k-1)
可以发现（(m+n) (m-n)其中必有一个是奇数,一个为偶数,因为2k-1无论怎么因式分解都不会产生偶数
假设m+n为奇数,那么m、n中必定是一个奇数、一个偶数,则m-n同样是奇数,那么两者乘积肯定为奇数,与假设矛盾
假设m+n为偶数,那么m、n要么同为奇数、要么同为偶数,m-n也是必定为偶数,但是这与之前的结论矛盾（(m+n) (m-n)其中必有一个是奇数,一个为偶数）