题目
已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值
若使f(x)>k/(x+1)恒成立
即(1+ln(x+1))/x>k/(x+1)恒成立
因x+1>1
故即是使(x+1)(1+ln(x+1))/x>k恒成立
令g(x)=(x+1)(1+ln(x+1))/x
显然只要g(x)最小值>k即可
g′(x)=[x-1-ln(x+1)]/x²
令h(x)=x-1-ln(x+1)
h′(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
故x>0时,h′(x)>0
即h(x)在(0,+∞)上单调递增
故h(x)>h(0)=-1
显然g′(3)=[2-ln4]/9>0
g′(2)=[1-ln3]/4
若使f(x)>k/(x+1)恒成立
即(1+ln(x+1))/x>k/(x+1)恒成立
因x+1>1
故即是使(x+1)(1+ln(x+1))/x>k恒成立
令g(x)=(x+1)(1+ln(x+1))/x
显然只要g(x)最小值>k即可
g′(x)=[x-1-ln(x+1)]/x²
令h(x)=x-1-ln(x+1)
h′(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
故x>0时,h′(x)>0
即h(x)在(0,+∞)上单调递增
故h(x)>h(0)=-1
显然g′(3)=[2-ln4]/9>0
g′(2)=[1-ln3]/4
提问时间:2021-03-25
答案
g(x)的最小值为g(t0),取值在3到4之间,k小于g(x)最小值,k最大能取到3(正整数)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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