题目

1.设G是有限群.证明：G中使x^3=e的元素x的个数是奇数.
2.一个群G能被它的3个真子群覆盖吗?并举例或证明.
3求有理数加群Q的自同构群Aut(Q).

提问时间：2021-03-25

答案

1、我前面帖子已答,除了x与x^2成对出现,还要注意G中元素构成的循环群（去除相等的）两两不相交.
2、有点像四元数中i、j、k的运算,对集合G = {e,a,b,c},定义乘法
ea = a,eb = b,ec = c,
a^2 = b^2 = c^2 = e^2 = e,
ab = c,bc = a,ac = b,
乘法可交换.则易验证G是交接群,子群
{e,a}、{e,b}、{e,c}覆盖G.
3、Aut(Q) = {f(x) = q x | q 是非0的有理数}.
证：不难看出,若f是Q的同态,则
f(0) = f(0) + f(0),从而f(0) = 0.
记f(1) = q,则由数学归纳法易见对自然数f(n) = n q.
f(-n) + f(n) = f(0) = 0,从而
f(-n) = - f(n) = - nq.
又归纳知 n f(x) = f(n x),从而
f(x) = f(n x) / n.（x是任意有理数）
即对有理数m / n,有
f(m / n) = f(m) / n.
于是
f((m/n) * y) = (m/n) * f(y),
对上式记x = m / n,并取定y = 1,则
f(x) = x f(1) = x q.
由f是单同态,则Ker f = {0},从而q不为0.
容易验证当q为有理数时,f 还是满同态,从而是同构.
综上,Q的自同构就只有f(x) = q x（q不等于0）.