题目

数学椭圆类题
过点P（-√3,0）作直线L与椭圆3X²+4Y²=12交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积的最大值及此时直线L的方程.

提问时间：2021-03-25

答案

答：
① S△OAB = S△POA + S△POA
S△OAB = 1/2 * PO * |y1 - y2| /***y1是A点纵坐标,y2是A点纵坐标.
PO显然是√3 .下面来求 |y1 - y2|
② 设直线的斜率是1/k,直线方程则为：y = 1/k (x + √3),x = ky - √3,代入椭圆方程：
3(ky - √3)² + 4y² = 12
3k²y² - 6√3 ky + 9 + 4y² = 12
(3k² + 4) y² - 6√3 ky -3 = 0
一般性而言,一元二次方程ax² + bx + c =0 两个根的差²=(b² - 4ac)/a²,所以：
(y1 - y2)² = [36*3k² - 4(3k² + 4)(-3)]/[3k² + 4]²
(y1 - y2)² = [108k² + 36k² + 48]/[3k² + 4]²
(y1 - y2)² = (4*36k² + 48)/[3k² + 4]²
设3k² + 4 = p,则：3k² = p - 4,4*36k²=4*12*3k²=48(p-4)
(y1 - y2)² =[48(p-4) + 48]/p²
(y1 - y2)² = 48(p-3)/p²
(y1 - y2)²最大值是4,p=6
3k² = 6 - 4
k² = 2/3
k= + -√6/3
③综上：
面积最大值是1/2 √3 √4 = √3
直线L的方程是：
y =+ - 1/(√6/3)(x +√3)
y =+ - (√6/2 (x + √2)
--完--