题目

用夹逼准则和重要极限两种方法计算极限lim(2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n)n趋近于...
用夹逼准则和重要极限两种方法计算极限lim(2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n)n趋近于无穷

提问时间：2021-03-25

答案

用夹逼定理：
(6^n)^(1/n) ≤ (2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n) ≤ [ 5倍的(6^n) ]^(1/n)
三边同时取极限,第一项(无论是否取极限)永远恒等于6,中间就是要求的极限,
右边不取极限时,等于 6×[5^(1/n)] ,取极限后,也是6.（原因是,任何一个大于0的常数,开n次方,n → +∞ 时,都等于1）
所以原极限＝6.
用重要极限：
设 y＝(2^n+3^n+4^n+5^n+6^n)^(1/n) ,
两边取对数,得 lny ＝ [ln (2^n+3^n+4^n+5^n+6^n) ] / n
用 x 替换 上面表达式的 n ,则 n → +∞ 就等价于 x→ +∞
于是 lny ＝ [ln (2^x+3^x+4^x+5^x+6^x) ] / x ,右边是无穷大 除以无穷大,
用一次洛比达法则,分子分母同时求导(极限符号我就不带了,这上面不好打出来),得
lny ＝ (2^x ·ln2) + (3^x·ln3) + (4^x·ln4) + (5^x·ln5) + (6^x·ln6) ] / (2^x+3^x+4^x+5^x+6^x)
对右边的分式,上下同除以 6^x ,再取极限,
则右边的分子就是(0 ·ln2) + (0·ln3) + (0·ln4) + (0·ln5) + (1·ln6) ＝ln6
右边的分母就是 (0+0+0+0+1)
所以,右边的结果就是 ln6,而左边一直是 lny,所以 lny＝ln6,所以原极限等于6