题目

广义积分问题..会做得帮下忙~..
e的（x方/2）次方怎么求广义积分
就是e的肩膀上是2分之x方...
我是想知道e的（x方/2）次方怎么积分..不是e的（x/2）次方怎么积分...

提问时间：2021-03-24

答案

我觉得你把题写错了,e的指数位置应该有个负号,也就是e^(-x^2/2),不然积分是发散的
为方便起见以下都用exp（x）表示e^x
要求的是∫exp(-(x^2)/2)dx,我们先考虑他的平方
(∫exp(-(x^2)/2)dx) * (∫exp(-(x^2)/2)dx) = (∫exp(-(x^2)/2)dx) * (∫exp(-(y^2)/2)dy) = ∫∫exp(-(x^2 + y^2)/2)dxdy
这里把第二个积分的积分变量从x换成了y,这是可以的
再用极坐标变换
x = rcost
y = rsint
得到：
原式 = ∫dt∫r * exp(-(r^2)/2)dr
这里t的范围是0到2pi（圆周率）,r的范围是0到无穷大.后面那个积分里面出现了一个r是因为在做换元法的时候需要乘以jacobi行列式.现在这两个积分都可以积出来了
第一个积分等于2pi,第二个积分用第一换元法把r放到微分里面就可以直接积分,得到-exp(-r^2/2),r从0到无穷大,所以值为-exp(无穷大) + exp(0) = 1
所以原式 = 2pi * 1 = 2pi
所以你要求的积分等于(2pi)^(1/2)
这是用二重积分来算你要求的积分.这个积分还有许多别的算法,但是我都不记得了……