题目

已知抛物线y=x^2-(m+1)x+m-2.问：若抛物线与x轴交于两点,当m为多少时,两交点距离最小,最小是多少?(请写出过程）

提问时间：2021-03-24

答案

设两交点分别为x1,x2,由韦达定理（一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中,两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a,X1*X2=c/a） 得
X1+X2=m+1
X1*X2=m-2
两交点之间的举例为x2-x1
要求x2-x1的最小值可先求x2-x1的平方的最小值
（x2-x1）^2=x1^2-2x1x2+x2^2
=x1^2+2x1x2+x2^2-4x1x2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=(m+1)^2-4(m-2)
=m^2-2m+9
=(m+1)^2+8≥8
所以x2-x1的最小值为根号8,即2倍根号2