题目

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点
假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数

提问时间：2021-03-24

答案

设正三棱柱地面边长为a,高为h,以B1为原点,B1C1方向为y轴正方向,B1B为z轴正方向建立空间直角坐标系；则：
B(0,0,h),C1(0,a,0),A(-根号3 a/2,a/2,h),D(-根号3 a/4,3a/4,h)
则AB1=(根号3 a/2,-a/2,-h),BC1=(0,a,-h)
∵AB1⊥BC1
∴-a^2/2+h^2=0,即h=根号2 a/2
BD=(-根号3 a/4,3a/4,0),BC1=(0,a,-根号2 a/2)
∴平面DBC1的法向量n1=(根号3,1,根号2)
CB=(0,-a,0),BC1=(0,a,-根号2 a/2)
∴平面CBC1的法向量n2=(1,0,0)
n1与n2的数量积=根号3
=根号3/(根号6×1)=根号2/2
二面角α=45°