题目

已知函数f(x)=x^2+ax+3-a,当x属于[-2,2]时,函数至少有一个零点,求a的范围.

提问时间：2021-03-24

答案

不妨设t∈[-2,2],且f(t)=0.
则t²+at+3-a=0.
a(1-t)=t²+3
=(1-t)²-2(1-t)+4.
显然,t≠1.
∴a+2=(1-t)+[4/(1-t)]
分类讨论
【1】当-2≤t＜1时,0＜1-t≤3.
由“对勾函数单调性”可知：
(1-t)+[4/(1-t)]≥4.等号仅当t=-1时取得.
∴a+2≥4.
a≥2.
【2】当1＜t≤2时,0＜t-1≤1.
由“对勾函数单调性”可知
(t-1)+[4/(t-1)]≥5.等号仅当t=2时取得.
∴-(2+a)=(t-1)+[4/(t-1)]≥5.
∴a≤-7.
综上可知：a∈(-∞,-7]∪[2,+∞).