题目

证明

2

是无理数．

提问时间：2021-03-24

答案

证明：用反证法．
假设

2

不是无理数，所以

2

必为有理数，
设

2

=

p

q

（p、q是互质的自然数），两边平方有，p²=2q²，①，
所以p一定是偶数．设p=2m（m是自然数），代入①得
4m²=2q²，q²=2m²，
所以q也是偶数，p、q均为偶数和p与q互质矛盾，
所以

2

不是有理数，所以

2

是无理数．

因为证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．假设

2

不是无理数，所以

2

必为有理数，设

2

=

p

q

（p、q是互质的自然数），两边平方可得到p²=2q²，再根据p、q均为偶数和p与q互质矛盾即可得出结论．

本题考点：有理数无理数的概念与运算．

考点点评：本题考查的是有理数与无理数的概念，解答此类题目时要注意反证法的使用．