题目

圆x^2+y^2=8内有一点p(-1,2),AB为过点p且倾斜角为a的弦
1.当a=135时 求ab绝对值
2.当弦ab被点p平分时,求出直线ab的方程
3.设过p点的弦的中点为m,求点m的轨迹方程

提问时间：2021-03-24

答案

1.ab绝对值3.5：
y-2=tan135°(x+1)与x^2+y^2=8组合求解；既x+y=1与（x+y)^2-2xy=8组合求解可得.
2.y=1/2(x+5):
假设坐标A(x1,y1),B(x2,y2),由于在p点平分,
所以x1-（-1）=-1-x2既x1+x2=-2；y1-2=2-y2既y1+y2=4.
将x1^2+y1^2=8与x2^2+y2^2=8组合相减得x1^2-x2^2+y1^2-y2^2=0再简化得（y1-y2）（y1+y2）=-（x1-x2）（x1+x2）；将x1+x2=-2和y1+y2=4代入得
（y1-y2）/（x1-x2）=1/2既斜率等于1/2,
知道一点和斜率便 可求得直线方程得y-2=1/2（x+1）,简化便得.
3.y^2+x^2-2y+x=0：
A(x1,y1),B(x2,y2),m（x,y）得由于AB在m点平分,
所以x1-x=x-x2既x1+x2=2x;y1-y=y-y2既y1+y2=2y；
将x1^2+y1^2=8与x2^2+y2^2=8组合相减得x1^2-x2^2+y1^2-y2^2=0再简化得（y1-y2）（y1+y2）=-（x1-x2）（x1+x2）；将x1+x2=2x和y1+y2=2y代入得（y1-y2）/（x1-x2）=-x/y既斜率为-x/y.
又因为斜率等于p点与没点斜率（y-2）/（x+1）,
所以-x/y=（y-2）/（x+1）,得y^2+x^2-2y+x=0