题目

设一个试验有三种可能结果0,1,2,其发生概率分别为P1=θ^2 ,P2=2θ(1-θ) ,P3=(1-θ)^2,现做了n次试验,观测到三种结果发生的次数分别是n1 ,n2 ,n3 ,求θ的矩估计和极大似然估计

提问时间：2021-03-24

答案

期望
＝0*θ^2+1*2θ(1-θ)+2*(1-θ)^2=2-2θ
方差
＝[(2-2θ-0)^2]*θ^2+[(2-2θ-1)^2]*2θ(1-θ)+[(2-2θ-2)^2]*(1-θ)^2
=2θ(1-θ)[4θ(1-θ)+4θθ-4θ+1]
=2θ(1-θ)
矩估计就是用具体的实验数据计算上面的东西
期望'＝(0*n1+1*n2+2*n3)/(n1+n2+n3)
方差={n1*(期望'-0)^2+n2*(期望'-1)^2+n3*(期望'-2)^2}/(n1+n2+n3)
极大似然估计就是你观察到结果为0有n1次,1有n2次,2有n3次,那么θ是多少的时候你最有可能观察到这个数据呢?
用乘法原理就是
[θ^n1]*{[2θ(1-θ)]^n2}*[(1-θ)^n3]
θ是多少时上式最大
[θ^n1]*{[2θ(1-θ)]^n2}*[(1-θ)^n3]
=(2^n2) * [θ^(n1+n2)] * [(1-θ)^(n2+n3)]
(2^n2)忽略,配上系数,用均值不等式
[n1+n2-(n1+n2)*θ]^(n2+n3) * {[(n2+n3)θ]^(n1+n2)}
每项相等取等号
n1+n2-(n1+n2)*θ＝[(n2+n3)θ]时候等号成立
(n1+n2+n2+m3)θ=(n1+n2)