题目

一道大一数学题,急等!
设f(x)有二阶连续导数,且f(0)=0,试证函数g(x)可导,且g'(x)连续.gx当x≠0,gx=f(x)/x,当x=0,gx=f'(0).我现在会证可导,但不会证明在x等于0时导函数连续.我的思路是证明当x→0时,lim g'(x)=g'(0)=0；我用洛必达法则证明到当趋近于0时,lim g'x=lim 1/2f"(x),然后怎么也证不出来了,还有f"x是连续的这个条件也没用上,

提问时间：2021-03-24

答案

由于g（x）=f（x）/x,直接对g（x）求导后,g‘（x）=（f'(x)-f(x)）/x²,显而易见x=0是g‘（x）的间断点,在第一问证明完可导的基础上,只需再证明g‘（x）在0点左侧和右侧的极限相等且等于g‘（0）即可.你用洛必达法则证明到当趋近于0时,lim g'(x)=lim 1/2f"(x),实际上,由于f‘’（x）连续,lim然后再求lim g'(x)=1/2 f"(0),此时由定义式求g'(0)=lim(x→0)（g(x)-g(0)）/x=lim(x→0)（f(x)/x²）,运用洛必达法则,继续=lim(x→0)（f ‘(x)/2x）=1/2 lim(x→0)f''(x)=1/2 f''(0).综上所述,g‘（x）在定义域上连续.