题目

已知数列{a n}的前n项和S n=2n^2+2n,数列{b n}的前n项和T n=2-b n,（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设c n=(a n)^2•b n,证明：当n≥3时,c(n+1)＜c n

提问时间：2021-03-23

答案

（1）
S n=2n^2+2n
所以S n-1=2（n-1）^2+2（n-1）=2n^2-2n
两式相减得an=4n
T n=2-b n
所以T n-1=2-b n-1
两式相减得bn=b n-1 -bn
即公比=1/2
求得首项为1
所以bn=2*（1/2）^n
(2)
cn==(a n)^2•b n=(4n)^2*2*(1/2)^n=32*n^2*(1/2)^n
cn+1=(4n+4)^2*2*(1/2)^n=32*(n+1)^2*(1/2)^(n+1)
cn- c n-1=32*(1/2)^(n+1)*(2n^2-n^2-2n-1)
注意啊32＞0,(1/2)^(n+1）＞0),2n^2-n^2-2n-1=n^2-2n-1当n≥3时＞0
所以
cn- c n-1,c(n+1)＜c n