题目

已知y=f（x）是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f（6）=2，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3．求f（x）的解析式．

提问时间：2021-03-23

答案

因为f（x）为奇函数，所以f（0）=-f（0），f（0）=0，
当x∈[0，3]时，设f（x）=kx+b，则b=0．
当x∈[3，6]时，由题设，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，可设f（x）=-a（x-5）²+3．
因为f（6）=2，所以-a+3=2，所以a=1．
所以x∈[3，6]时f（x）=-（x-5）²+3=-x²+10x-22，
所以f（3）=-1，所以3k=-1，所以k＝−

1

3

．
∴当x∈[0，3]时，f（x）=−

1

3

x
∵f（x）为奇函数
∴x∈[-3，0]时，f（x）=-f（-x）=−

1

3

x，
当x∈[-6，-3]时，f（x）=-f（-x）=x²+10x+22．
所以f（x）=

x2+10x+22，x∈[−6，−3] − 1 3 x，x∈[−3，3] −x2+10x−22，x∈[3，6]

根据当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f（6）=2，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，可先求出x∈[0，3]，x∈[3，6]时的解析式，再利用f（x）为奇函数，可求出x∈[-3，0]，x∈[-6，-3]时的解析式，从而得到f（x）在R上的解析式．

本题考点：函数奇偶性的性质．

考点点评：本题重点考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，解题的关键是求出x∈[0，3]，x∈[3，6]时的解析式．